Zur optimale Zweiteilung einer Arbeit
an Beispielen des unvollständigen 2 Länder / 2 Waren - Modells des David Ricardo

Grundsätzlich kann man beim systematischen Vorgehen von zwei Möglichkeiten der Zweiteilung einer Arbeit ausgehen.
Einerseits kann man sie so zerlegen, dass zwei qualitativ gleiche Teile entstehen. Beim Umverteilen ist es dann gleichgültig wer welches Teil übernimmt: das arbeitsteilige Ergebnis ist immer die Summe beider ehemaligen Teile.
Andererseits können Arbeiten in zwei qualitativ unterschiedliche Teile zerlegt werden. Hier ist es nicht gleichgültig wer welches Arbeitsteil übernimmt, weil die Teilarbeiter mehr oder weniger unterschiedliche Fähig- und Fertigkeiten haben.
Wird falsch zugeteilt, entsteht unmittelbar insgesamt Mehraufwand an Arbeit, um das gleiche vorarbeitsteilige Ergebnis zu erreichen. Das Entgegengesetzte, nämlich Aufwandseinsparung tritt aber dann ein, wenn die richtige alternative Umverteilmöglichkeit benutzt wird. Allerdings müssen bei diesen arbeitsteiligen Optimierungsaufgaben bestimmte Nebenbedingungen beachtet werden. Wenn dann die Aufwandseinsparungen gleich wieder zur Mengenmaximierung eingesetzt wird, kann man in Anlehnung an Aristoteles auch sagen: Das Ganze ist größer als die Summe seiner Teile.
Diese zweite Zerlegungsmöglichkeit mit richtiger Umverteilung der beiden Arbeitsteile ist ein oder sogar das Schlüssel-Problem einer arbeitsteiligen Wirtschaft und soll hier an zwei altbekannten Modellen der Nationalökonomie beschrieben werden:
Im Jahre 1776 veröffentlichte der schottische Philosoph und Nationalökonom Adam Smith seine bis heute berühmte"Untersuchung über die Natur und die Ursachen des Wohlstandes der Nationen". Im Unterschied zu seinen Vorgängern setzte er das Phänomen Arbeitsteilung in den Mittelpunkt seiner Untersuchung. Mit überzeugender Vielfalt schöner Wortbeispiele und ohne allzu viel eventuell abschreckende Zahlen beschrieb Adam Smith Vorteile und Wirkungen arbeitsteiligen Wirtschaftens von Anbeginn der Entwicklung bis hin zur internationalen Arbeitsteilung des 18. Jahrhunderts.
Der jung bereits erfolgreiche englische Geschäftsmann David Ricardo soll im Jahre 1799 in einer Bibliothek zufällig auf Smith`s Werk gestoßen sein und sich bei der Lektüre die theoretische Ökonomie begeistert haben. Seine Studien mündeten 18 Jahre später in eine eigene Veröffentlichung "über die Grundsätze der politischen Ökonomie und Besteuerung".
Im Gegensatz zu Adam Smith benutzte David Ricardo auch ausführliche Zahlenbeispiele, die aber auf manche Leser umständlich und sogar langweilig wirkten. Er griff beispielsweise die folgende Smith`sche Beschreibung möglicher Kostenvorteile durch Arbeitsteilung auf : " Die Vorteile, die ein Land von Natur aus gegenüber einem anderen in der Produktion einzelner Waren besitzt, sind mitunter so groß dass es, wie alle Welt weiß vergeblich wäre, ihm hierin Konkurrenz machen zu wollen. In Treibhäusern, Mistbeeten und mit erwärmtem Mauerwerk lassen sich auch in Schottland recht gute Trauben ziehen und daraus auch sehr gute Weine keltern, nur würden sie etwa dreißig gmal soviel kosten wie ein zumindest gleich guter aus dem Ausland. "
David Ricardo erweiterte und vervollständigte seine eigene Beispielvariante auch mit konkreten Kostengrößen : " England kann in einer solchen Lage sein, dass die Erzeugung eines Tuches die Arbeit eines Jahres von 100 Leuten erfordert, und wenn es versucht, den Wein herzustellen, so wird vielleicht die Arbeit gleicher Zeitdauer von 120 Leuten benötigt werden. England wird daher finden, dass es seinen Interessen entspricht, Wein zu importieren und ihn mit Hilfe der Ausfuhr von Tuch zu kaufen. Um Wein in Portugal herzustellen, ist vielleicht nur die Arbeit von 80 Leuten während eines Jahres erforderlich, und um das Tuch in diesem Land zu produzieren, braucht es vielleicht die Arbeit von 90 Leuten während der gleichen Zeit. Es ist daher für Portugal von Vorteil, Wein im Austausch für Tuch zu exportieren. Dieser Austausch kann sogar stattfinden, obwohl die von Portugal importierte Ware dortselbst mit weniger Arbeit als in England produziert werden kann. Wenngleich es das Tuch vermittels der Arbeit von 90 Leuten erzeugen kann, wird Portugal dieses doch aus einem Lande einführen wo man zur Herstellung 100 Leuten benötigt, da es f�tugal von größerem Vorteil ist, sein Kapital in die Produktion von Wein anzulegen, wofür es von England mehr Tuch bekommt, als es durch Ãœbertragung eines Teils seines Kapitals vom Weinbau zur Tuchfabrikation produzieren könnte. "
Damit war das arbeitsteilige Grundproblem mit den notwendigen vier Kostengrößen dargestellt, ohne allerdings die Bedingungen der Qualitäts- und Mengengleichheit beider Wein- und Tuchprodukte noch einmal ausdrücklich zu erwähnen. Schematisch kann nun der Ausgangszustand des arbeitsteiligen Optimierungsproblems seines 2 Länder / 2 Waren - Modells mit den vier vollständigen Aufwandsgrößen bei Selbstversorgung wie folgt dargestellt werden. Zusätzlich ist es notwendig vorerst bei der Analyse des Problems vereinfachend anzunehmen, dass der Ãœbergang von Selbst- zur arbeitsteiligen Versorgung nur von zwei selbständigen Wirtschaftseinheiten zweier Länder vorgenommen wird. Erst nach der Untersuchung der optimalen Zweiteilung sollten schritt- und paarweise n = 2; 4; 6; usw. Wirtschaftseinheiten in die Untersuchung einbezogen werden und wir können dann erkennen, dass die jeweiligen paarweisen optimalen Austauschverhältnisse sich nicht "irgendwo" zwischen den beiden nationalen Durchschnittsverhältnissen sondern sich teilweise sogar ausserhalb dieser angeblichen Grenzwerte befinden.

1. Beispiel: "Komparative" Kostenvorteile nach David Ricardo	Im Gegensatz (?) dazu das 2. Beispiel:	2. Beispiel: "Absolute" Kostenvorteile nach Adam Smith

Das Beispiel des David Ricardo wird auch als sein "2 Länder / 2 Waren"-Modell bezeichnet und bildet die Grundlage der Theorie der komparativen Kostenvorteile mit dem vereinfacht gezeigt werden soll, dass auch Länder mit unterschiedlichen Produktivitätsniveaus arbeitsteilig beidseitig Gewinn bringend wirtschaften können.
Im Grunde ist es aber völlig gleichgültig was für Aufwandswerte in welchen noch so unterschiedlichen Dimensionen und Zuordnungen vorliegen. Nach Größen geordnet ergeben sich genau sechs verschiedene Anordnungsmöglichkeiten, in der auch die des Ricardo enthalten ist.

Sie befindet sich zeilen- und spaltenvertauscht links außen. Allen diesen möglichen Anordnungen, in der auch die Beispiele mit sogenannten absoluten Kostenvorteilen enthalten sind, ist gemeinsam, dass bei erstmaliger Arbeitsteilung unmittelbar und beidseitig Aufwand eingespart werden kann. Nicht nur die drei Möglichkeiten, bei denen sich die größeren Aufwandswerte diagonal gegenüberstehen, sondern auch die restlichen drei anderen, bei denen die größeren Aufwendungen auf die beiden gleichen Produkte fallen, sind letztlich komparative, auf Vergleichung von Selbst- und arbeitsteiliger Versorgung, beruhende arbeitsteilig aufwandseinsparende Möglichkeiten!
Unmöglich sind unmittelbare Aufwandseinsparungen nur dann, wenn die beiden selbstversorgenden Aufwandsverhältnisse der künftigen arbeitsteiligen Partner gleich groß sind. Doch bei näherer Betrachtung sind diese auch unterschiedlich, wenn auch die unmittelbaren Einsparmöglichkeiten gering sein mögen. Selbst wenn die einzelne unmittelbare Einsparung nur ein Dreihundertstel betragen sollten, liegt ein Problem "der gleichen Art" vor, wie schon Adam Smith 1776 in seiner Untersuchung über den Wohlstand der Nationen ausdrücklich angemerkt hatte.

Obwohl also das Ricardo-Modell einer erstmaligen arbeitsteiliger Wechselbeziehung zwischen zwei Ländern vollständig und berechenbar ist, gibt er dazu keine weiteren Hinweise. Aber er gibt die richtige Alternative der Arbeitsumverteilung an, denn es gibt noch eine zweite und falsche, weil unmittelbar verlustbringende Umverteilmöglichkeit. Wenn also die richtige, nicht immer offenkundige Alternative gefunden ist, muss als nächstes das richtige Verhältnis der Umverteilung ermittelt werden. Dieses Austauschverhältnis soll ja beiden Partner nicht nur irgend einen, sondern den bestmöglichen Nutzen in Form von Aufwandseinsparungen bringen. Es ist deshalb ein Minimierproblem! Leider wird es bis heute allzuoft nur als ein Problem der Mengenmaximierung behandelt, dabei ist diese Option nur die zweite Alternative.
Angenommen wir untersuchen das Ricardo-Modell als eine Extremwertaufgabe - nicht mit dem Ziel Mengenmaximierung sondern Minimierung des Aufwandes eines bestimmten Lebensniveaus!
So könnte England über seinen Eigenbedarf hinaus eine Mengeneinheit Tuch mehr und "x" Mengeneinheiten Wein weniger als notwendig produzieren. Im Gegenzug produziert Portugal "x" Mengeneinheiten Wein mehr aber eine Mengeneinheit Tuch weniger als der gewohnter Eigenbedarf. Anschließend tauschen beide diese über ihren Eigenbedarf hinausgehende Mehrprodukte nach dem Tauschmodus

1 Mengeneinheit Tuch gegen x Mengeneinheiten Wein

gegeneinander aus.
Obwohl hier also nichts Gleiches ausgetauscht wird, wäre dann das Eigenbedarfsniveau beider Länder wieder hergestellt, aber es fällt zusätzlich unmittelbar und beidseitig möglich ein Gewinn in Form von eingesparten Aufwand an und dessen Gleichheit ist vielleicht nicht nur Möglichkeit sondern sogar das Optimierungsziel. Allgemein ist diese Aufwandseinsparung die Basis dafür um bei sich verschlechternden Umweltverhältnissen das gewohnte Versorgungsniveau zu erhalten. Bessern sich dagegen die Umweltverhältnisse, kann damit die quantitative und qualitative Steigerung der beidseitigen Versorgung mit Gütern und Dienstleistungen erfolgen, zusätzlich ganz neue Produkte erzeugt aber auch ein mehr oder weniger großer Anteil der Verkürzung der notwendigen Arbeitszeit zugefügt werden.

Nur die Maximierung der Menge der Güterproduktion aus dem Ricardo-Modell abzuleiten, ist leider ein nicht zielführender, wenn nicht sogar irreführender Untersuchungsschritt!

Wenn man eingedenk dessen mit den Mehr- und Minderproduktionen beider Länder in Verbindung und mit dem noch unbekannten Austauschfaktor "x" eine allgemeine Vergleichsrechnung durchführt, kann das Schema so aussehen:

England hätte arbeitsteilig nur einen Aufwand von 100 Einheiten, bekommt aber dafür Menge Wein, mit den größeren Aufwand bei Selbstversorgung von 120x Einheiten. Im Gegenzug würde Portugal nur den geringeren Aufwand von 80x Einheiten des Weines aufbringen müssen, um Tuch mit dem Selbstversorgungsaufwand von 90 Einheiten dafür zu erhalten. Die jeweiligen Differenzen ergeben die absoluten Einsparungen jedes Landes. Außerdem ist es sinnvoll auch die jeweiligen relativen Einsparungen, also die absolute Einsparungen im Verhältnis zum Selbstversorgungsaufwand mit einzubeziehen. Der Vollständigkeit halber bilden die absolute und die relative Gesamteinsparung den Abschluss des Vergleichsrechenschemas.
Damit kann man sich nun der entscheidenden Frage weiter annähern: Wie groß muss Faktor "x" sein, damit unmittelbar maximale Aufwandseinsparungen - gleich welcher Erscheinungsform - und ihre optimale Verteilung bewirkt werden?
Die englischen Klassiker der Nationalökonomie Smith und Ricardo gaben darauf leider keine ausreichende Antwort, obwohl sich der optimale Austauschfaktor "x" aus einem vollständigen Kostenquadrat ableiten lässt. Außerdem hat das Ricardo-Modell trotz Vollständigkeit der vier Aufwandsgrößen leider vom Ansatz her auch noch einen großen und einen kleinen Mangel. Es nimmt einerseits als Grundlage der Aufwandsverhältnisse nationale arithmetische Mittelwerte an. Andererseits sind, wenn man die nationalen Durchschnittswerte als richtig akzeptiert, die Aufwandsgrößen so ungünstig gewählt, dass beim Vergleich der Gesamtergebnisse bei absoluter mit denen bei relativer Einsparungsgleichheit nur der geringe Unterschied von 0,03% besteht. Für Ermittlung der allgemeinen Formel der optimalen Zweiteilung ist das hier zwar ohne Bedeutung, aber bei der weiteren Entwicklung des Problems muss bzw. sollte das berücksichtigt werden.
Wie bereits Adam Smith in seiner Untersuchung über den Wohlstand der Nationen erklärte, spiele es dann kein Rolle, ob man sich durch Arbeitsteilung den dreißigfachen Aufwand oder nur ein Dreihundertstel erspare. Doch das arbeitsteilige Problem ist im Unterschied zur Selbstversorgung mit einem zusätzlichen Aufwand durch Transport und Handel gekoppelt. So ist es bei kleinen Einsparungen angebracht erst größere Stückzahlen zu produzieren, ehe der Austausch vorgenommen wird, denn sonst wäre vielleicht dieser Aufwand größer als der Austauschnutzen. Es muss also bei Arbeitsteilung gegebenenfalls ein Problem der Grenzstückzahl berücksichtigt werden, ab der dann tatsächlich eine Einsparung erwirtschaftet werden kann.

Wird nun beispielsweise nach den oben beschriebenen Austausch ein Vergleichsrechnung der Ergebnisse einer erstmaligen Arbeitsteilung mit dem Ziel der absoluten Einsparungsgleichheit durchgeführt und auch erreicht, ergibt sich trotz dieser Gleichheit ein zwiespältiges Ergebnis.

Wenn nämlich zusätzlich der relativer Vergleich der absoluten Einsparungen bei Arbeitsteilung durchgeführt wird, zeigt sich auf einmal eine mindestens einseitig unbefriedigende Gleichheit nach der Art, dass die Wirtschaftseinheit mit dem ohnehin schlechteren Produktionsniveau (hier England - zwar unrealistisch aber als theoretische Möglichkeit) zusätzlich noch prozentual weniger Einsparung zugeteilt bekommt.

Das ändert sich aber dann, wenn ein Vergleichsschema mit dem Ziel der relative Einsparungsgleichheit aufgebaut wird. Nun sind die relativen Einsparungen gleich, dafür die absoluten ungleich. Aber die produktiv schwächere Wirtschaftseinheit (England) bekommt hier nun absolut mehr und die andere ohnehin wirtschaftlich stärkere Einheit (Portugal) absolut weniger zugeteilt. Zusätzlich steigen absolute und relative Gesamteinsparungen leicht an. Das richtige arbeitsteilige Optimierungsziel könnte beim jetzigen Stand der Betrachtung also nur die relative Einsparungsgleichheit sein, da sie nicht nur die größere absolute sondern auch die größere relative Gesamteinsparung bewirkt.

Noch etwas Interessantes ist bei näherer Betrachtung aus dem zweiten Vergleichsschema zu erkennen: Aus den ungerundeten absoluten Werten von Selbstversorgung, Arbeitsteilung und Einsparung beider Länder können sechs proportionale Verhältnisgleichungen gebildet werden.

Wenn schon bei Aristoteles das Gerechte auch etwas Proportionales sein sollte, dann ist diese Lösung vielleicht nicht nur optimal sondern auch gerecht. Aber diese Proportionalitäten sind nur mit dem Geometrischen Mittel der beiden vorarbeitsteiligen Aufwandsverhältnisse zweier selbständiger Wirtschaftseinheiten als Faktor "x" des Tauschmodus zu erreichen. Alle anderen Tauschfaktoren (einschließlich der aus nationalen Durchschnittswerten) erzeugen weder die relative Einsparungsgleichheit noch die Proportionalitäten der absoluten Werte und darüber hinaus auch nicht das damit verbundene mögliche Maximum der relativen Gesamteinsparung .

Wenn man sich die allgemeinen Ergebnisse der Vergleichsrechnung des Ricardo-Modells formal darstellt,

kann man die absoluten und relativen Einsparungen vorerst einmal in graphischer Darstellung vergleichen.

Graphik der absoluten Einsparungen   Graphik der relativen Einsparungen

Bei der Graphik der absoluten Einsparungen haben wir es dann nur mit drei Geraden zu tun. Die beiden Linien von England und Portugal verlaufen konträr Je größer der Austauschfaktor "x" wird, um so größer wird Englands absolute Einsparung, aber Portugals Ergebnis immer kleiner. Die Linie der Gesamteinsparung steigt selbst dann kontinuierlich weiter an, wenn Portugal immer mehr negative Einsparung (arbeitsteiliger Mehraufwand) zugeteilt bekommt. Als einzig möglicher Anhaltspunkt bietet sich der an, wo sich die beiden Linien der absoluten Ländereinsparungen schneiden, also da wo absolute Einsparungsgleichheit herrscht.
Ein besseres Bild zeichnet sich aber wieder ab, wenn die relativen Einsparungsverläufe graphisch betrachtet werden. Hier haben wir eine Gerade, eine Hyperbel und einer Parabel in der Darstellung. Der wesentliche Unterschied zur absoluten Betrachtung ist der, dass die Gesamteinsparung nicht unbekümmert weiter ansteigt, wenn einer der beiden Wirtschaftspartner bereits negative Einsparungen zugeteilt bekommt. Ãœber dem Schnittpunkt der beiden relativen Einsparungsverläufe Englands (die Hyperbel) und Portugals (die Gerade) hat die Parabel der relativen Gesamteinsparung anscheinend ihren maximalem Punkt erreicht. Dieser graphische Eindruck kann anschließend mittels rechnerischer Verallgemeinerung bestätigt werden.
Es führt also nur die relative Betrachtung zu einer eindeutigen möglichst optimalen Lösung des Problems.

Bei weiterer Verallgemeinerung aus der obigen allgemeinen Vergleichsrechnung der relativen Einsparungen ist zu erkennen, dass es sich um ein einfaches auf vier Zahlen und also letztlich nur zwei Verhältnissen beruhendes Extremwert- bzw. Optimierungsproblem handelt und formelmäßig einfachst darstellbar ist.

Daraus abgeleitet ist der optimale Austauschfaktor "x" beispielsweise das Geometrische Mittel der beiden Selbstversorgungsverhältnisse:

Die für beide gleiche optimale relative Einzeleinsparung, welche außerdem maximale relative Gesamteinsparung an Aufwand bewirken, lautet danach:

Sie ist es auch, welche in der weiteren Untersuchung allgemein den tendenziellen Fall arbeitsteiliger Gewinne zum Ausdruck bringt.
Vereinfacht kann man am Ende zeigen: Die optimale und nicht nur auf Proportionalitäten beruhende gerechte Teilung einer Arbeit wird nur dann erreicht, wenn die unmittelbaren relativen Aufwandseinsparungen beider Wirtschaftseinheiten gleich groß sind.
Die Gleichsetzung der relativen Einzeleinsparungen in formelmäßiger Gestalt :

Die Suche nach dieser Formel, in der die Eins den jeweiligen Selbstversorgungsaufwand, das "x" den optimalen Austauschfaktor, V1 das größere und V2 das kleinere Aufwandsverhältnis der beiden Wirtschaftseinheiten bei Selbstversorgung darstellt, hat mich bis weit nach den Zusammenbruch der DDR beschäftigt. Ich nenne sie heute das

Grundgesetz der optimalen Zweiteilung einer Arbeit.

Leider ist damit anscheinend (?) keine Hilfestellung zur Behebung aktueller Wirtschaftsprobleme möglich, doch ist es meiner Meinung nach die Lösung eines Grundlagenproblems arbeitsteiliger Wechselbeziehungen. Außerdem ist es mein kritischer Beitrag (!) über den "kleinen Fehler" am Anfang der Marx'schen Kapitalismusanalyse, der am Ende zu einem großen wurde.